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Theorem zfun

Description: Axiom of Union expressed with the fewest number of different variables. (Contributed by NM, 14-Aug-2003) Use ax-un instead. (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion zfun ⊢ ∃ x ∀ y ∃ x y ∈ x ∧ x ∈ z → y ∈ x

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ax-un ⊢ ∃ x ∀ y ∃ w y ∈ w ∧ w ∈ z → y ∈ x
2 elequ2 ⊢ w = x → y ∈ w ↔ y ∈ x
3 elequ1 ⊢ w = x → w ∈ z ↔ x ∈ z
4 2 3 anbi12d ⊢ w = x → y ∈ w ∧ w ∈ z ↔ y ∈ x ∧ x ∈ z
5 4 cbvexvw ⊢ ∃ w y ∈ w ∧ w ∈ z ↔ ∃ x y ∈ x ∧ x ∈ z
6 5 imbi1i ⊢ ∃ w y ∈ w ∧ w ∈ z → y ∈ x ↔ ∃ x y ∈ x ∧ x ∈ z → y ∈ x
7 6 albii ⊢ ∀ y ∃ w y ∈ w ∧ w ∈ z → y ∈ x ↔ ∀ y ∃ x y ∈ x ∧ x ∈ z → y ∈ x
8 7 exbii ⊢ ∃ x ∀ y ∃ w y ∈ w ∧ w ∈ z → y ∈ x ↔ ∃ x ∀ y ∃ x y ∈ x ∧ x ∈ z → y ∈ x
9 1 8 mpbi ⊢ ∃ x ∀ y ∃ x y ∈ x ∧ x ∈ z → y ∈ x