Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme20z.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
cdleme20z.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
cdleme20z.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
cdleme20z.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
6 |
|
simp22 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
7 |
|
simp23 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
simp21 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
9 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) |
10 |
1 2 3 4
|
2llnma2rN |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 ) |
11 |
5 6 7 8 9 10
|
syl131anc |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑅 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∨ 𝑅 ) ∧ ( 𝑇 ∨ 𝑅 ) ) = 𝑅 ) |