Theorem crosspclem

Description: Lemma for crosspcld . Closure of the three-way coordinate case split used in the cross product's mapping rule. (Contributed by Jiamin Zhao, 11-Aug-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	crosspd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
	crosspd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
Assertion	crosspclem	⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crosspd.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
2		crosspd.2	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) ) )
3	1 2	crosspcle1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ )
4	1 2	crosspcle2d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) ∈ ℝ )
5	1 2	crosspcle3d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ∈ ℝ )
6	4 5	ifcld	⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ∈ ℝ )
7	3 6	ifcld	⊢ ( 𝜑 → if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ∈ ℝ )