Theorem crosspclifi

Description: Closure of the three-way Sarrus case split used in the cross product's mapping rule. (A helper for crosspcli .) (Contributed by Jiamin Zhao, 1-Aug-2026)

	Ref	Expression
Hypotheses	crossp.1	⊢ 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) )
	crossp.2	⊢ 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) )
Assertion	crosspclifi	⊢ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ∈ ℝ

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crossp.1	⊢ 𝐴 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) )
2		crossp.2	⊢ 𝐵 ∈ ( ℝ ↑m ( 1 ... 3 ) )
3	1 2	crosspcle1i	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) ∈ ℝ
4	1 2	crosspcle2i	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) ∈ ℝ
5	1 2	crosspcle3i	⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ∈ ℝ
6	4 5	ifcli	⊢ if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ∈ ℝ
7	3 6	ifcli	⊢ if ( 𝑘 = 1 , ( ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) ) , if ( 𝑘 = 2 , ( ( ( 𝐴 ‘ 3 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 3 ) ) ) , ( ( ( 𝐴 ‘ 1 ) · ( 𝐵 ‘ 2 ) ) − ( ( 𝐴 ‘ 2 ) · ( 𝐵 ‘ 1 ) ) ) ) ) ∈ ℝ