Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
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dalema.ph |
⊢ ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑇 ∨ 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ≤ ( 𝑈 ∨ 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑇 ) ∧ 𝐶 ≤ ( 𝑅 ∨ 𝑈 ) ) ) ) ) |
2 |
|
dalemc.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
dalemc.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
dalemc.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
5 |
|
dalempnes.o |
⊢ 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
dalempnes.y |
⊢ 𝑌 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) |
7 |
1
|
dalemkehl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ HL ) |
8 |
1
|
dalempea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
9 |
1
|
dalemsea |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
10 |
1 2 3 4 5 6
|
dalempnes |
⊢ ( 𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑆 ) |
11 |
|
eqid |
⊢ ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 ) |
12 |
3 4 11
|
llni2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑃 ≠ 𝑆 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) |
13 |
7 8 9 10 12
|
syl31anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) ) |