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Theorem dalempjsen

Description: Lemma for dath . Frequently-used utility lemma. (Contributed by NM, 13-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalema.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
dalemc.l = ( le ‘ 𝐾 )
dalemc.j = ( join ‘ 𝐾 )
dalemc.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
dalempnes.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
dalempnes.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
Assertion dalempjsen ( 𝜑 → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalema.ph ( 𝜑 ↔ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ( 𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴 ) ∧ ( 𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴 ) ) ∧ ( 𝑌𝑂𝑍𝑂 ) ∧ ( ( ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑄 𝑅 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑅 𝑃 ) ) ∧ ( ¬ 𝐶 ( 𝑆 𝑇 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑇 𝑈 ) ∧ ¬ 𝐶 ( 𝑈 𝑆 ) ) ∧ ( 𝐶 ( 𝑃 𝑆 ) ∧ 𝐶 ( 𝑄 𝑇 ) ∧ 𝐶 ( 𝑅 𝑈 ) ) ) ) )
2 dalemc.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 dalemc.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 dalemc.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 dalempnes.o 𝑂 = ( LPlanes ‘ 𝐾 )
6 dalempnes.y 𝑌 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑅 )
7 1 dalemkehl ( 𝜑𝐾 ∈ HL )
8 1 dalempea ( 𝜑𝑃𝐴 )
9 1 dalemsea ( 𝜑𝑆𝐴 )
10 1 2 3 4 5 6 dalempnes ( 𝜑𝑃𝑆 )
11 eqid ( LLines ‘ 𝐾 ) = ( LLines ‘ 𝐾 )
12 3 4 11 llni2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴 ) ∧ 𝑃𝑆 ) → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )
13 7 8 9 10 12 syl31anc ( 𝜑 → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( LLines ‘ 𝐾 ) )