Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mopnval.1 |
β’ π½ = ( MetOpen β π· ) |
2 |
1
|
mopnval |
β’ ( π· β ( βMet β π ) β π½ = ( topGen β ran ( ball β π· ) ) ) |
3 |
2
|
eleq2d |
β’ ( π· β ( βMet β π ) β ( π΄ β π½ β π΄ β ( topGen β ran ( ball β π· ) ) ) ) |
4 |
|
blbas |
β’ ( π· β ( βMet β π ) β ran ( ball β π· ) β TopBases ) |
5 |
|
eltg2 |
β’ ( ran ( ball β π· ) β TopBases β ( π΄ β ( topGen β ran ( ball β π· ) ) β ( π΄ β βͺ ran ( ball β π· ) β§ β π₯ β π΄ β π¦ β ran ( ball β π· ) ( π₯ β π¦ β§ π¦ β π΄ ) ) ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
β’ ( π· β ( βMet β π ) β ( π΄ β ( topGen β ran ( ball β π· ) ) β ( π΄ β βͺ ran ( ball β π· ) β§ β π₯ β π΄ β π¦ β ran ( ball β π· ) ( π₯ β π¦ β§ π¦ β π΄ ) ) ) ) |
7 |
|
unirnbl |
β’ ( π· β ( βMet β π ) β βͺ ran ( ball β π· ) = π ) |
8 |
7
|
sseq2d |
β’ ( π· β ( βMet β π ) β ( π΄ β βͺ ran ( ball β π· ) β π΄ β π ) ) |
9 |
8
|
anbi1d |
β’ ( π· β ( βMet β π ) β ( ( π΄ β βͺ ran ( ball β π· ) β§ β π₯ β π΄ β π¦ β ran ( ball β π· ) ( π₯ β π¦ β§ π¦ β π΄ ) ) β ( π΄ β π β§ β π₯ β π΄ β π¦ β ran ( ball β π· ) ( π₯ β π¦ β§ π¦ β π΄ ) ) ) ) |
10 |
3 6 9
|
3bitrd |
β’ ( π· β ( βMet β π ) β ( π΄ β π½ β ( π΄ β π β§ β π₯ β π΄ β π¦ β ran ( ball β π· ) ( π₯ β π¦ β§ π¦ β π΄ ) ) ) ) |