Metamath Proof Explorer


Theorem problem4

Description: Practice problem 4. Clues: pm3.2i eqcomi eqtri subaddrii recni 7re 6re ax-1cn df-7 ax-mp oveq1i 3cn 2cn df-3 mulid2i subdiri mp3an mulcli subadd23 oveq2i oveq12i 3t2e6 mulcomi subcli biimpri subadd2i . (Contributed by Filip Cernatescu, 16-Mar-2019) (Proof modification is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses problem4.1 𝐴 ∈ ℂ
problem4.2 𝐵 ∈ ℂ
problem4.3 ( 𝐴 + 𝐵 ) = 3
problem4.4 ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 2 · 𝐵 ) ) = 7
Assertion problem4 ( 𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 problem4.1 𝐴 ∈ ℂ
2 problem4.2 𝐵 ∈ ℂ
3 problem4.3 ( 𝐴 + 𝐵 ) = 3
4 problem4.4 ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 2 · 𝐵 ) ) = 7
5 7re 7 ∈ ℝ
6 5 recni 7 ∈ ℂ
7 6re 6 ∈ ℝ
8 7 recni 6 ∈ ℂ
9 ax-1cn 1 ∈ ℂ
10 df-7 7 = ( 6 + 1 )
11 10 eqcomi ( 6 + 1 ) = 7
12 6 8 9 11 subaddrii ( 7 − 6 ) = 1
13 12 eqcomi 1 = ( 7 − 6 )
14 3cn 3 ∈ ℂ
15 2cn 2 ∈ ℂ
16 df-3 3 = ( 2 + 1 )
17 16 eqcomi ( 2 + 1 ) = 3
18 14 15 9 17 subaddrii ( 3 − 2 ) = 1
19 18 oveq1i ( ( 3 − 2 ) · 𝐴 ) = ( 1 · 𝐴 )
20 1 mulid2i ( 1 · 𝐴 ) = 𝐴
21 19 20 eqtri ( ( 3 − 2 ) · 𝐴 ) = 𝐴
22 21 eqcomi 𝐴 = ( ( 3 − 2 ) · 𝐴 )
23 14 15 1 subdiri ( ( 3 − 2 ) · 𝐴 ) = ( ( 3 · 𝐴 ) − ( 2 · 𝐴 ) )
24 22 23 eqtri 𝐴 = ( ( 3 · 𝐴 ) − ( 2 · 𝐴 ) )
25 24 oveq1i ( 𝐴 + 6 ) = ( ( ( 3 · 𝐴 ) − ( 2 · 𝐴 ) ) + 6 )
26 14 1 mulcli ( 3 · 𝐴 ) ∈ ℂ
27 15 1 mulcli ( 2 · 𝐴 ) ∈ ℂ
28 subadd23 ( ( ( 3 · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ ( 2 · 𝐴 ) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ) → ( ( ( 3 · 𝐴 ) − ( 2 · 𝐴 ) ) + 6 ) = ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 6 − ( 2 · 𝐴 ) ) ) )
29 26 27 8 28 mp3an ( ( ( 3 · 𝐴 ) − ( 2 · 𝐴 ) ) + 6 ) = ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 6 − ( 2 · 𝐴 ) ) )
30 3t2e6 ( 3 · 2 ) = 6
31 1 15 mulcomi ( 𝐴 · 2 ) = ( 2 · 𝐴 )
32 30 31 oveq12i ( ( 3 · 2 ) − ( 𝐴 · 2 ) ) = ( 6 − ( 2 · 𝐴 ) )
33 32 eqcomi ( 6 − ( 2 · 𝐴 ) ) = ( ( 3 · 2 ) − ( 𝐴 · 2 ) )
34 14 1 15 subdiri ( ( 3 − 𝐴 ) · 2 ) = ( ( 3 · 2 ) − ( 𝐴 · 2 ) )
35 34 eqcomi ( ( 3 · 2 ) − ( 𝐴 · 2 ) ) = ( ( 3 − 𝐴 ) · 2 )
36 14 1 subcli ( 3 − 𝐴 ) ∈ ℂ
37 15 36 mulcomi ( 2 · ( 3 − 𝐴 ) ) = ( ( 3 − 𝐴 ) · 2 )
38 37 eqcomi ( ( 3 − 𝐴 ) · 2 ) = ( 2 · ( 3 − 𝐴 ) )
39 14 1 2 3 subaddrii ( 3 − 𝐴 ) = 𝐵
40 39 eqcomi 𝐵 = ( 3 − 𝐴 )
41 40 oveq2i ( 2 · 𝐵 ) = ( 2 · ( 3 − 𝐴 ) )
42 41 eqcomi ( 2 · ( 3 − 𝐴 ) ) = ( 2 · 𝐵 )
43 38 42 eqtri ( ( 3 − 𝐴 ) · 2 ) = ( 2 · 𝐵 )
44 35 43 eqtri ( ( 3 · 2 ) − ( 𝐴 · 2 ) ) = ( 2 · 𝐵 )
45 33 44 eqtri ( 6 − ( 2 · 𝐴 ) ) = ( 2 · 𝐵 )
46 45 eqcomi ( 2 · 𝐵 ) = ( 6 − ( 2 · 𝐴 ) )
47 46 oveq2i ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 2 · 𝐵 ) ) = ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 6 − ( 2 · 𝐴 ) ) )
48 47 eqcomi ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 6 − ( 2 · 𝐴 ) ) ) = ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 2 · 𝐵 ) )
49 29 48 eqtri ( ( ( 3 · 𝐴 ) − ( 2 · 𝐴 ) ) + 6 ) = ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 2 · 𝐵 ) )
50 25 49 eqtri ( 𝐴 + 6 ) = ( ( 3 · 𝐴 ) + ( 2 · 𝐵 ) )
51 50 4 eqtri ( 𝐴 + 6 ) = 7
52 6 8 1 subadd2i ( ( 7 − 6 ) = 𝐴 ↔ ( 𝐴 + 6 ) = 7 )
53 52 biimpri ( ( 𝐴 + 6 ) = 7 → ( 7 − 6 ) = 𝐴 )
54 51 53 ax-mp ( 7 − 6 ) = 𝐴
55 13 54 eqtri 1 = 𝐴
56 55 eqcomi 𝐴 = 1
57 56 oveq2i ( 3 − 𝐴 ) = ( 3 − 1 )
58 14 9 15 subadd2i ( ( 3 − 1 ) = 2 ↔ ( 2 + 1 ) = 3 )
59 58 biimpri ( ( 2 + 1 ) = 3 → ( 3 − 1 ) = 2 )
60 17 59 ax-mp ( 3 − 1 ) = 2
61 57 60 eqtri ( 3 − 𝐴 ) = 2
62 40 61 eqtri 𝐵 = 2
63 56 62 pm3.2i ( 𝐴 = 1 ∧ 𝐵 = 2 )