Theorem rexcom13

Description: Swap first and third restricted existential quantifiers. (Contributed by NM, 8-Apr-2015)

	Ref	Expression
Assertion	rexcom13	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexcom	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 )
2		rexcom	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 )
3	2	rexbii	⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 )
4		rexcom	⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 )
5	1 3 4	3bitri	⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 𝜑 ↔ ∃ 𝑧 ∈ 𝐶 ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝜑 )