Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bnj1124.4 |
|- ( th <-> ( R _FrSe A /\ X e. A ) ) |
2 |
|
bnj1124.5 |
|- ( ta <-> ( B e. _V /\ _TrFo ( B , A , R ) /\ _pred ( X , A , R ) C_ B ) ) |
3 |
|
biid |
|- ( ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) <-> ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) ) |
4 |
|
biid |
|- ( A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
5 |
|
biid |
|- ( ( n e. ( _om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> ( n e. ( _om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) ) |
6 |
|
biid |
|- ( ( i e. n /\ z e. ( f ` i ) ) <-> ( i e. n /\ z e. ( f ` i ) ) ) |
7 |
|
eqid |
|- ( _om \ { (/) } ) = ( _om \ { (/) } ) |
8 |
|
eqid |
|- { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } = { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } |
9 |
|
biid |
|- ( ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) <-> ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) |
10 |
|
biid |
|- ( A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) <-> A. j e. n ( j _E i -> [. j / i ]. ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) ) |
11 |
|
biid |
|- ( [. j / i ]. ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) <-> [. j / i ]. ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) ) |
12 |
|
biid |
|- ( [. j / i ]. A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) <-> [. j / i ]. A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) |
13 |
|
biid |
|- ( [. j / i ]. ( n e. ( _om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) <-> [. j / i ]. ( n e. ( _om \ { (/) } ) /\ f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) ) |
14 |
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biid |
|- ( [. j / i ]. th <-> [. j / i ]. th ) |
15 |
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biid |
|- ( [. j / i ]. ta <-> [. j / i ]. ta ) |
16 |
|
biid |
|- ( [. j / i ]. ( i e. n /\ z e. ( f ` i ) ) <-> [. j / i ]. ( i e. n /\ z e. ( f ` i ) ) ) |
17 |
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biid |
|- ( [. j / i ]. ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) <-> [. j / i ]. ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) |
18 |
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biid |
|- ( ( ( j e. n /\ j _E i ) -> [. j / i ]. ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) <-> ( ( j e. n /\ j _E i ) -> [. j / i ]. ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) ) |
19 |
|
biid |
|- ( ( i e. n /\ ( ( j e. n /\ j _E i ) -> [. j / i ]. ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) /\ f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) <-> ( i e. n /\ ( ( j e. n /\ j _E i ) -> [. j / i ]. ( ( f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) -> ( f ` i ) C_ B ) ) /\ f e. { f | E. n e. ( _om \ { (/) } ) ( f Fn n /\ ( f ` (/) ) = _pred ( X , A , R ) /\ A. i e. _om ( suc i e. n -> ( f ` suc i ) = U_ y e. ( f ` i ) _pred ( y , A , R ) ) ) } /\ i e. dom f ) ) |
20 |
3 4 5 1 2 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
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bnj1030 |
|- ( ( th /\ ta ) -> _trCl ( X , A , R ) C_ B ) |