Theorem bnj956

Description: First-order logic and set theory. (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypothesis	bnj956.1	|- ( A = B -> A. x A = B )
Assertion	bnj956	|- ( A = B -> U_ x e. A C = U_ x e. B C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bnj956.1	|- ( A = B -> A. x A = B )
2		eleq2	|- ( A = B -> ( x e. A <-> x e. B ) )
3	2	anbi1d	|- ( A = B -> ( ( x e. A /\ y e. C ) <-> ( x e. B /\ y e. C ) ) )
4	3	alexbii	|- ( A. x A = B -> ( E. x ( x e. A /\ y e. C ) <-> E. x ( x e. B /\ y e. C ) ) )
5		df-rex	|- ( E. x e. A y e. C <-> E. x ( x e. A /\ y e. C ) )
6		df-rex	|- ( E. x e. B y e. C <-> E. x ( x e. B /\ y e. C ) )
7	4 5 6	3bitr4g	|- ( A. x A = B -> ( E. x e. A y e. C <-> E. x e. B y e. C ) )
8	1 7	syl	|- ( A = B -> ( E. x e. A y e. C <-> E. x e. B y e. C ) )
9	8	abbidv	|- ( A = B -> { y | E. x e. A y e. C } = { y | E. x e. B y e. C } )
10		df-iun	|- U_ x e. A C = { y | E. x e. A y e. C }
11		df-iun	|- U_ x e. B C = { y | E. x e. B y e. C }
12	9 10 11	3eqtr4g	|- ( A = B -> U_ x e. A C = U_ x e. B C )