Theorem btwncolg1

Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	tglngval.p	|- P = ( Base ` G )
	tglngval.l	|- L = ( LineG ` G )
	tglngval.i	|- I = ( Itv ` G )
	tglngval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
	tglngval.x	|- ( ph -> X e. P )
	tglngval.y	|- ( ph -> Y e. P )
	tgcolg.z	|- ( ph -> Z e. P )
	btwncolg1.z	|- ( ph -> Z e. ( X I Y ) )
Assertion	btwncolg1	|- ( ph -> ( Z e. ( X L Y ) \/ X = Y ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tglngval.p	|- P = ( Base ` G )
2		tglngval.l	|- L = ( LineG ` G )
3		tglngval.i	|- I = ( Itv ` G )
4		tglngval.g	|- ( ph -> G e. TarskiG )
5		tglngval.x	|- ( ph -> X e. P )
6		tglngval.y	|- ( ph -> Y e. P )
7		tgcolg.z	|- ( ph -> Z e. P )
8		btwncolg1.z	|- ( ph -> Z e. ( X I Y ) )
9	8	3mix1d	|- ( ph -> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) )
10	1 2 3 4 5 6 7	tgcolg	|- ( ph -> ( ( Z e. ( X L Y ) \/ X = Y ) <-> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) ) )
11	9 10	mpbird	|- ( ph -> ( Z e. ( X L Y ) \/ X = Y ) )