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Theorem btwncolg3

Description: Betweenness implies colinearity. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2019)

Ref Expression
Hypotheses tglngval.p
|- P = ( Base ` G )
tglngval.l
|- L = ( LineG ` G )
tglngval.i
|- I = ( Itv ` G )
tglngval.g
|- ( ph -> G e. TarskiG )
tglngval.x
|- ( ph -> X e. P )
tglngval.y
|- ( ph -> Y e. P )
tgcolg.z
|- ( ph -> Z e. P )
btwncolg3.z
|- ( ph -> Y e. ( X I Z ) )
Assertion btwncolg3
|- ( ph -> ( Z e. ( X L Y ) \/ X = Y ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tglngval.p
 |-  P = ( Base ` G )
2 tglngval.l
 |-  L = ( LineG ` G )
3 tglngval.i
 |-  I = ( Itv ` G )
4 tglngval.g
 |-  ( ph -> G e. TarskiG )
5 tglngval.x
 |-  ( ph -> X e. P )
6 tglngval.y
 |-  ( ph -> Y e. P )
7 tgcolg.z
 |-  ( ph -> Z e. P )
8 btwncolg3.z
 |-  ( ph -> Y e. ( X I Z ) )
9 8 3mix3d
 |-  ( ph -> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) )
10 1 2 3 4 5 6 7 tgcolg
 |-  ( ph -> ( ( Z e. ( X L Y ) \/ X = Y ) <-> ( Z e. ( X I Y ) \/ X e. ( Z I Y ) \/ Y e. ( X I Z ) ) ) )
11 9 10 mpbird
 |-  ( ph -> ( Z e. ( X L Y ) \/ X = Y ) )