Theorem cdleme50laut

Description: Part of proof of Lemma D in Crawley p. 113. F is a lattice automorphism. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemef50.b	|- B = ( Base ` K )
	cdlemef50.l	|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemef50.j	|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemef50.m	|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemef50.a	|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemef50.h	|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemef50.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
	cdlemef50.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemefs50.e	|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
	cdlemef50.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
	cdleme50laut.i	|- I = ( LAut ` K )
Assertion	cdleme50laut	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. I )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef50.b	|- B = ( Base ` K )
2		cdlemef50.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemef50.j	|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemef50.m	|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemef50.a	|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemef50.h	|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemef50.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemef50.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefs50.e	|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemef50.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11		cdleme50laut.i	|- I = ( LAut ` K )
12	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdleme50f1o	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
13	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdleme50lebi	|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( d e. B /\ e e. B ) ) -> ( d .<_ e <-> ( F ` d ) .<_ ( F ` e ) ) )
14	13	ralrimivva	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> A. d e. B A. e e. B ( d .<_ e <-> ( F ` d ) .<_ ( F ` e ) ) )
15		simp1l	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> K e. HL )
16	1 2 11	islaut	|- ( K e. HL -> ( F e. I <-> ( F : B -1-1-onto-> B /\ A. d e. B A. e e. B ( d .<_ e <-> ( F ` d ) .<_ ( F ` e ) ) ) ) )
17	15 16	syl	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ( F e. I <-> ( F : B -1-1-onto-> B /\ A. d e. B A. e e. B ( d .<_ e <-> ( F ` d ) .<_ ( F ` e ) ) ) ) )
18	12 14 17	mpbir2and	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. I )