Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dalema.ph |
|- ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) ) |
2 |
|
dalemc.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dalemc.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
dalemc.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
dalem6.o |
|- O = ( LPlanes ` K ) |
6 |
|
dalem6.y |
|- Y = ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) |
7 |
|
dalem6.z |
|- Z = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) |
8 |
|
dalem6.w |
|- W = ( Y .\/ C ) |
9 |
1 2 3 4 6 7
|
dalemrot |
|- ( ph -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) ) |
10 |
|
biid |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) ) |
11 |
|
eqid |
|- ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) |
12 |
|
eqid |
|- ( ( T .\/ U ) .\/ S ) = ( ( T .\/ U ) .\/ S ) |
13 |
|
eqid |
|- ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) .\/ C ) = ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) .\/ C ) |
14 |
10 2 3 4 5 11 12 13
|
dalem6 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) -> T .<_ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) .\/ C ) ) |
15 |
9 14
|
syl |
|- ( ph -> T .<_ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) .\/ C ) ) |
16 |
1 3 4
|
dalemqrprot |
|- ( ph -> ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) ) |
17 |
6 16
|
eqtr4id |
|- ( ph -> Y = ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( Y .\/ C ) = ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) .\/ C ) ) |
19 |
8 18
|
syl5eq |
|- ( ph -> W = ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) .\/ C ) ) |
20 |
15 19
|
breqtrrd |
|- ( ph -> T .<_ W ) |