Metamath Proof Explorer

Theorem dalemrot

Description: Lemma for dath . Rotate triangles Y = P Q R and Z = S T U to allow reuse of analogous proofs. (Contributed by NM, 14-Aug-2012)

Ref Expression
Hypotheses dalema.ph 
|- ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) )
dalemc.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dalemc.j 
|- .\/ = ( join ` K )
dalemc.a 
|- A = ( Atoms ` K )
dalemrot.y 
|- Y = ( ( P .\/ Q ) .\/ R )
dalemrot.z 
|- Z = ( ( S .\/ T ) .\/ U )
Assertion dalemrot 
|- ( ph -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dalema.ph 
 |-  ( ph <-> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) )
2 dalemc.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dalemc.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 dalemc.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 dalemrot.y 
 |-  Y = ( ( P .\/ Q ) .\/ R )
6 dalemrot.z 
 |-  Z = ( ( S .\/ T ) .\/ U )
7 1 dalemkehl 
 |-  ( ph -> K e. HL )
8 1 4 dalemceb 
 |-  ( ph -> C e. ( Base ` K ) )
9 7 8 jca 
 |-  ( ph -> ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) )
10 1 dalemqea 
 |-  ( ph -> Q e. A )
11 1 dalemrea 
 |-  ( ph -> R e. A )
12 1 dalempea 
 |-  ( ph -> P e. A )
13 10 11 12 3jca 
 |-  ( ph -> ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) )
14 1 dalemtea 
 |-  ( ph -> T e. A )
15 1 dalemuea 
 |-  ( ph -> U e. A )
16 1 dalemsea 
 |-  ( ph -> S e. A )
17 14 15 16 3jca 
 |-  ( ph -> ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) )
18 9 13 17 3jca 
 |-  ( ph -> ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) )
19 1 3 4 dalemqrprot 
 |-  ( ph -> ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) )
20 1 dalemyeo 
 |-  ( ph -> Y e. O )
21 5 20 eqeltrrid 
 |-  ( ph -> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) e. O )
22 19 21 eqeltrd 
 |-  ( ph -> ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O )
23 3 4 hlatjrot 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) -> ( ( T .\/ U ) .\/ S ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
24 7 14 15 16 23 syl13anc 
 |-  ( ph -> ( ( T .\/ U ) .\/ S ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
25 1 dalemzeo 
 |-  ( ph -> Z e. O )
26 6 25 eqeltrrid 
 |-  ( ph -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. O )
27 24 26 eqeltrd 
 |-  ( ph -> ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O )
28 22 27 jca 
 |-  ( ph -> ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) )
29 simp312 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( Q .\/ R ) )
30 1 29 sylbi 
 |-  ( ph -> -. C .<_ ( Q .\/ R ) )
31 simp313 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( R .\/ P ) )
32 1 31 sylbi 
 |-  ( ph -> -. C .<_ ( R .\/ P ) )
33 1 dalem-clpjq 
 |-  ( ph -> -. C .<_ ( P .\/ Q ) )
34 30 32 33 3jca 
 |-  ( ph -> ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) )
35 simp322 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( T .\/ U ) )
36 1 35 sylbi 
 |-  ( ph -> -. C .<_ ( T .\/ U ) )
37 simp323 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( U .\/ S ) )
38 1 37 sylbi 
 |-  ( ph -> -. C .<_ ( U .\/ S ) )
39 simp321 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( Y e. O /\ Z e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) ) /\ ( -. C .<_ ( S .\/ T ) /\ -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) ) /\ ( C .<_ ( P .\/ S ) /\ C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) ) ) ) -> -. C .<_ ( S .\/ T ) )
40 1 39 sylbi 
 |-  ( ph -> -. C .<_ ( S .\/ T ) )
41 36 38 40 3jca 
 |-  ( ph -> ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) )
42 1 dalemclqjt 
 |-  ( ph -> C .<_ ( Q .\/ T ) )
43 1 dalemclrju 
 |-  ( ph -> C .<_ ( R .\/ U ) )
44 1 dalemclpjs 
 |-  ( ph -> C .<_ ( P .\/ S ) )
45 42 43 44 3jca 
 |-  ( ph -> ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) )
46 34 41 45 3jca 
 |-  ( ph -> ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) )
47 18 28 46 3jca 
 |-  ( ph -> ( ( ( K e. HL /\ C e. ( Base ` K ) ) /\ ( Q e. A /\ R e. A /\ P e. A ) /\ ( T e. A /\ U e. A /\ S e. A ) ) /\ ( ( ( Q .\/ R ) .\/ P ) e. O /\ ( ( T .\/ U ) .\/ S ) e. O ) /\ ( ( -. C .<_ ( Q .\/ R ) /\ -. C .<_ ( R .\/ P ) /\ -. C .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ ( -. C .<_ ( T .\/ U ) /\ -. C .<_ ( U .\/ S ) /\ -. C .<_ ( S .\/ T ) ) /\ ( C .<_ ( Q .\/ T ) /\ C .<_ ( R .\/ U ) /\ C .<_ ( P .\/ S ) ) ) ) )