Metamath Proof Explorer

Definition df-vc

Description: Define the class of all complex vector spaces. (Contributed by NM, 3-Nov-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion df-vc 
|- CVecOLD = { <. g , s >. | ( g e. AbelOp /\ s : ( CC X. ran g ) --> ran g /\ A. x e. ran g ( ( 1 s x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) }

Detailed syntax breakdown

Step Hyp Ref Expression
0 cvc 
 |-  CVecOLD
1 vg 
 |-  g
2 vs 
 |-  s
3 1 cv 
 |-  g
4 cablo 
 |-  AbelOp
5 3 4 wcel 
 |-  g e. AbelOp
6 2 cv 
 |-  s
7 cc 
 |-  CC
8 3 crn 
 |-  ran g
9 7 8 cxp 
 |-  ( CC X. ran g )
10 9 8 6 wf 
 |-  s : ( CC X. ran g ) --> ran g
11 vx 
 |-  x
12 c1 
 |-  1
13 11 cv 
 |-  x
14 12 13 6 co 
 |-  ( 1 s x )
15 14 13 wceq 
 |-  ( 1 s x ) = x
16 vy 
 |-  y
17 vz 
 |-  z
18 16 cv 
 |-  y
19 17 cv 
 |-  z
20 13 19 3 co 
 |-  ( x g z )
21 18 20 6 co 
 |-  ( y s ( x g z ) )
22 18 13 6 co 
 |-  ( y s x )
23 18 19 6 co 
 |-  ( y s z )
24 22 23 3 co 
 |-  ( ( y s x ) g ( y s z ) )
25 21 24 wceq 
 |-  ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) )
26 25 17 8 wral 
 |-  A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) )
27 caddc 
 |-  +
28 18 19 27 co 
 |-  ( y + z )
29 28 13 6 co 
 |-  ( ( y + z ) s x )
30 19 13 6 co 
 |-  ( z s x )
31 22 30 3 co 
 |-  ( ( y s x ) g ( z s x ) )
32 29 31 wceq 
 |-  ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) )
33 cmul 
 |-  x.
34 18 19 33 co 
 |-  ( y x. z )
35 34 13 6 co 
 |-  ( ( y x. z ) s x )
36 18 30 6 co 
 |-  ( y s ( z s x ) )
37 35 36 wceq 
 |-  ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) )
38 32 37 wa 
 |-  ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) )
39 38 17 7 wral 
 |-  A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) )
40 26 39 wa 
 |-  ( A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) ) )
41 40 16 7 wral 
 |-  A. y e. CC ( A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) ) )
42 15 41 wa 
 |-  ( ( 1 s x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) ) ) )
43 42 11 8 wral 
 |-  A. x e. ran g ( ( 1 s x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) ) ) )
44 5 10 43 w3a 
 |-  ( g e. AbelOp /\ s : ( CC X. ran g ) --> ran g /\ A. x e. ran g ( ( 1 s x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) ) ) ) )
45 44 1 2 copab 
 |-  { <. g , s >. | ( g e. AbelOp /\ s : ( CC X. ran g ) --> ran g /\ A. x e. ran g ( ( 1 s x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) }
46 0 45 wceq 
 |-  CVecOLD = { <. g , s >. | ( g e. AbelOp /\ s : ( CC X. ran g ) --> ran g /\ A. x e. ran g ( ( 1 s x ) = x /\ A. y e. CC ( A. z e. ran g ( y s ( x g z ) ) = ( ( y s x ) g ( y s z ) ) /\ A. z e. CC ( ( ( y + z ) s x ) = ( ( y s x ) g ( z s x ) ) /\ ( ( y x. z ) s x ) = ( y s ( z s x ) ) ) ) ) ) }