Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dfitg.1 |
|- T = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) |
2 |
|
df-itg |
|- S. A B _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) ) |
3 |
|
fvex |
|- ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) e. _V |
4 |
|
id |
|- ( y = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) -> y = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) ) |
5 |
4 1
|
eqtr4di |
|- ( y = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) -> y = T ) |
6 |
5
|
breq2d |
|- ( y = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) -> ( 0 <_ y <-> 0 <_ T ) ) |
7 |
6
|
anbi2d |
|- ( y = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) -> ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) <-> ( x e. A /\ 0 <_ T ) ) ) |
8 |
7 5
|
ifbieq1d |
|- ( y = ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) -> if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) |
9 |
3 8
|
csbie |
|- [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) = if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) |
10 |
9
|
mpteq2i |
|- ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) |
11 |
10
|
fveq2i |
|- ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) ) |
12 |
11
|
oveq2i |
|- ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) ) ) |
13 |
12
|
a1i |
|- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) ) ) ) |
14 |
13
|
sumeq2i |
|- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> [_ ( Re ` ( B / ( _i ^ k ) ) ) / y ]_ if ( ( x e. A /\ 0 <_ y ) , y , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) ) ) |
15 |
2 14
|
eqtri |
|- S. A B _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. A /\ 0 <_ T ) , T , 0 ) ) ) ) |