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## Theorem elunop

Description: Property defining a unitary Hilbert space operator. (Contributed by NM, 18-Jan-2006) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion elunop
`|- ( T e. UniOp <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elex
` |-  ( T e. UniOp -> T e. _V )`
2 fof
` |-  ( T : ~H -onto-> ~H -> T : ~H --> ~H )`
3 ax-hilex
` |-  ~H e. _V`
4 fex
` |-  ( ( T : ~H --> ~H /\ ~H e. _V ) -> T e. _V )`
5 2 3 4 sylancl
` |-  ( T : ~H -onto-> ~H -> T e. _V )`
` |-  ( ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) -> T e. _V )`
7 foeq1
` |-  ( t = T -> ( t : ~H -onto-> ~H <-> T : ~H -onto-> ~H ) )`
8 fveq1
` |-  ( t = T -> ( t ` x ) = ( T ` x ) )`
9 fveq1
` |-  ( t = T -> ( t ` y ) = ( T ` y ) )`
10 8 9 oveq12d
` |-  ( t = T -> ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) )`
11 10 eqeq1d
` |-  ( t = T -> ( ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih y ) <-> ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )`
12 11 2ralbidv
` |-  ( t = T -> ( A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih y ) <-> A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )`
13 7 12 anbi12d
` |-  ( t = T -> ( ( t : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih y ) ) <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) ) )`
14 df-unop
` |-  UniOp = { t | ( t : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( t ` x ) .ih ( t ` y ) ) = ( x .ih y ) ) }`
15 13 14 elab2g
` |-  ( T e. _V -> ( T e. UniOp <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) ) )`
16 1 6 15 pm5.21nii
` |-  ( T e. UniOp <-> ( T : ~H -onto-> ~H /\ A. x e. ~H A. y e. ~H ( ( T ` x ) .ih ( T ` y ) ) = ( x .ih y ) ) )`