Theorem f1co

Description: Composition of one-to-one functions. Exercise 30 of TakeutiZaring p. 25. (Contributed by NM, 28-May-1998)

	Ref	Expression
Assertion	f1co	|- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-f1	|- ( F : B -1-1-> C <-> ( F : B --> C /\ Fun `' F ) )
2		df-f1	|- ( G : A -1-1-> B <-> ( G : A --> B /\ Fun `' G ) )
3		fco	|- ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) -> ( F o. G ) : A --> C )
4		funco	|- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun ( `' G o. `' F ) )
5		cnvco	|- `' ( F o. G ) = ( `' G o. `' F )
6	5	funeqi	|- ( Fun `' ( F o. G ) <-> Fun ( `' G o. `' F ) )
7	4 6	sylibr	|- ( ( Fun `' G /\ Fun `' F ) -> Fun `' ( F o. G ) )
8	7	ancoms	|- ( ( Fun `' F /\ Fun `' G ) -> Fun `' ( F o. G ) )
9	3 8	anim12i	|- ( ( ( F : B --> C /\ G : A --> B ) /\ ( Fun `' F /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
10	9	an4s	|- ( ( ( F : B --> C /\ Fun `' F ) /\ ( G : A --> B /\ Fun `' G ) ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
11	1 2 10	syl2anb	|- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
12		df-f1	|- ( ( F o. G ) : A -1-1-> C <-> ( ( F o. G ) : A --> C /\ Fun `' ( F o. G ) ) )
13	11 12	sylibr	|- ( ( F : B -1-1-> C /\ G : A -1-1-> B ) -> ( F o. G ) : A -1-1-> C )