Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gaf.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
eqid |
|- ( +g ` G ) = ( +g ` G ) |
3 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
4 |
1 2 3
|
isga |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) <-> ( ( G e. Grp /\ Y e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) ) ) ) |
5 |
4
|
simprbi |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y ( +g ` G ) z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) ) ) |
6 |
5
|
simpld |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |