Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gaf.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
1
|
gaf |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y ) |
3 |
|
gagrp |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp ) |
4 |
3
|
adantr |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> G e. Grp ) |
5 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
6 |
1 5
|
grpidcl |
|- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X ) |
7 |
4 6
|
syl |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> ( 0g ` G ) e. X ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> x e. Y ) |
9 |
5
|
gagrpid |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x ) |
10 |
9
|
eqcomd |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> x = ( ( 0g ` G ) .(+) x ) ) |
11 |
|
rspceov |
|- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ x e. Y /\ x = ( ( 0g ` G ) .(+) x ) ) -> E. y e. X E. z e. Y x = ( y .(+) z ) ) |
12 |
7 8 10 11
|
syl3anc |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ x e. Y ) -> E. y e. X E. z e. Y x = ( y .(+) z ) ) |
13 |
12
|
ralrimiva |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> A. x e. Y E. y e. X E. z e. Y x = ( y .(+) z ) ) |
14 |
|
foov |
|- ( .(+) : ( X X. Y ) -onto-> Y <-> ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y E. y e. X E. z e. Y x = ( y .(+) z ) ) ) |
15 |
2 13 14
|
sylanbrc |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) -onto-> Y ) |