Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
gaass.1 |
|- X = ( Base ` G ) |
2 |
|
gaass.2 |
|- .+ = ( +g ` G ) |
3 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
4 |
1 2 3
|
isga |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) <-> ( ( G e. Grp /\ Y e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) ) ) ) |
5 |
4
|
simprbi |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> ( .(+) : ( X X. Y ) --> Y /\ A. x e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) ) ) |
6 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) -> A. y e. X A. z e. X ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) |
7 |
6
|
ralimi |
|- ( A. x e. Y ( ( ( 0g ` G ) .(+) x ) = x /\ A. y e. X A. z e. X ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) -> A. x e. Y A. y e. X A. z e. X ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) |
8 |
5 7
|
simpl2im |
|- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> A. x e. Y A. y e. X A. z e. X ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) ) |
9 |
|
oveq2 |
|- ( x = C -> ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( ( y .+ z ) .(+) C ) ) |
10 |
|
oveq2 |
|- ( x = C -> ( z .(+) x ) = ( z .(+) C ) ) |
11 |
10
|
oveq2d |
|- ( x = C -> ( y .(+) ( z .(+) x ) ) = ( y .(+) ( z .(+) C ) ) ) |
12 |
9 11
|
eqeq12d |
|- ( x = C -> ( ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) <-> ( ( y .+ z ) .(+) C ) = ( y .(+) ( z .(+) C ) ) ) ) |
13 |
|
oveq1 |
|- ( y = A -> ( y .+ z ) = ( A .+ z ) ) |
14 |
13
|
oveq1d |
|- ( y = A -> ( ( y .+ z ) .(+) C ) = ( ( A .+ z ) .(+) C ) ) |
15 |
|
oveq1 |
|- ( y = A -> ( y .(+) ( z .(+) C ) ) = ( A .(+) ( z .(+) C ) ) ) |
16 |
14 15
|
eqeq12d |
|- ( y = A -> ( ( ( y .+ z ) .(+) C ) = ( y .(+) ( z .(+) C ) ) <-> ( ( A .+ z ) .(+) C ) = ( A .(+) ( z .(+) C ) ) ) ) |
17 |
|
oveq2 |
|- ( z = B -> ( A .+ z ) = ( A .+ B ) ) |
18 |
17
|
oveq1d |
|- ( z = B -> ( ( A .+ z ) .(+) C ) = ( ( A .+ B ) .(+) C ) ) |
19 |
|
oveq1 |
|- ( z = B -> ( z .(+) C ) = ( B .(+) C ) ) |
20 |
19
|
oveq2d |
|- ( z = B -> ( A .(+) ( z .(+) C ) ) = ( A .(+) ( B .(+) C ) ) ) |
21 |
18 20
|
eqeq12d |
|- ( z = B -> ( ( ( A .+ z ) .(+) C ) = ( A .(+) ( z .(+) C ) ) <-> ( ( A .+ B ) .(+) C ) = ( A .(+) ( B .(+) C ) ) ) ) |
22 |
12 16 21
|
rspc3v |
|- ( ( C e. Y /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A. x e. Y A. y e. X A. z e. X ( ( y .+ z ) .(+) x ) = ( y .(+) ( z .(+) x ) ) -> ( ( A .+ B ) .(+) C ) = ( A .(+) ( B .(+) C ) ) ) ) |
23 |
8 22
|
syl5 |
|- ( ( C e. Y /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> ( ( A .+ B ) .(+) C ) = ( A .(+) ( B .(+) C ) ) ) ) |
24 |
23
|
3coml |
|- ( ( A e. X /\ B e. X /\ C e. Y ) -> ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> ( ( A .+ B ) .(+) C ) = ( A .(+) ( B .(+) C ) ) ) ) |
25 |
24
|
impcom |
|- ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. Y ) ) -> ( ( A .+ B ) .(+) C ) = ( A .(+) ( B .(+) C ) ) ) |