Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elrege0 |
|- ( A e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) ) |
2 |
|
elrege0 |
|- ( B e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) |
3 |
|
remulcl |
|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A x. B ) e. RR ) |
4 |
3
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. RR ) |
5 |
|
mulge0 |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> 0 <_ ( A x. B ) ) |
6 |
|
elrege0 |
|- ( ( A x. B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( A x. B ) e. RR /\ 0 <_ ( A x. B ) ) ) |
7 |
4 5 6
|
sylanbrc |
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A x. B ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
8 |
1 2 7
|
syl2anb |
|- ( ( A e. ( 0 [,) +oo ) /\ B e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( A x. B ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |