Theorem glbcl

Description: The least upper bound function value belongs to the base set. (Contributed by NM, 7-Sep-2018)

	Ref	Expression
Hypotheses	glbc.b	|- B = ( Base ` K )
	glbc.g	|- G = ( glb ` K )
	glbc.k	|- ( ph -> K e. V )
	glbc.s	|- ( ph -> S e. dom G )
Assertion	glbcl	|- ( ph -> ( G ` S ) e. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		glbc.b	|- B = ( Base ` K )
2		glbc.g	|- G = ( glb ` K )
3		glbc.k	|- ( ph -> K e. V )
4		glbc.s	|- ( ph -> S e. dom G )
5		eqid	|- ( le ` K ) = ( le ` K )
6		biid	|- ( ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) <-> ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) )
7	1 5 2 3 4	glbelss	|- ( ph -> S C_ B )
8	1 5 2 6 3 7	glbval	|- ( ph -> ( G ` S ) = ( iota_ x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) )
9	1 5 2 6 3 4	glbeu	|- ( ph -> E! x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) )
10		riotacl	|- ( E! x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) e. B )
11	9 10	syl	|- ( ph -> ( iota_ x e. B ( A. y e. S x ( le ` K ) y /\ A. z e. B ( A. y e. S z ( le ` K ) y -> z ( le ` K ) x ) ) ) e. B )
12	8 11	eqeltrd	|- ( ph -> ( G ` S ) e. B )