Theorem invisoinvr

Description: The inverse of an isomorphism is invers to the isomorphism. (Contributed by AV, 9-Apr-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	invisoinv.b	|- B = ( Base ` C )
	invisoinv.i	|- I = ( Iso ` C )
	invisoinv.n	|- N = ( Inv ` C )
	invisoinv.c	|- ( ph -> C e. Cat )
	invisoinv.x	|- ( ph -> X e. B )
	invisoinv.y	|- ( ph -> Y e. B )
	invisoinv.f	|- ( ph -> F e. ( X I Y ) )
Assertion	invisoinvr	|- ( ph -> F ( X N Y ) ( ( X N Y ) ` F ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invisoinv.b	|- B = ( Base ` C )
2		invisoinv.i	|- I = ( Iso ` C )
3		invisoinv.n	|- N = ( Inv ` C )
4		invisoinv.c	|- ( ph -> C e. Cat )
5		invisoinv.x	|- ( ph -> X e. B )
6		invisoinv.y	|- ( ph -> Y e. B )
7		invisoinv.f	|- ( ph -> F e. ( X I Y ) )
8	1 2 3 4 5 6 7	invisoinvl	|- ( ph -> ( ( X N Y ) ` F ) ( Y N X ) F )
9	1 3 4 5 6	invsym	|- ( ph -> ( F ( X N Y ) ( ( X N Y ) ` F ) <-> ( ( X N Y ) ` F ) ( Y N X ) F ) )
10	8 9	mpbird	|- ( ph -> F ( X N Y ) ( ( X N Y ) ` F ) )