Theorem isbasisg

Description: Express the predicate "the set B is a basis for a topology". (Contributed by NM, 17-Jul-2006)

	Ref	Expression
Assertion	isbasisg	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1	|- ( z = B -> ( z i^i ~P ( x i^i y ) ) = ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) )
2	1	unieqd	|- ( z = B -> U. ( z i^i ~P ( x i^i y ) ) = U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) )
3	2	sseq2d	|- ( z = B -> ( ( x i^i y ) C_ U. ( z i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
4	3	raleqbi1dv	|- ( z = B -> ( A. y e. z ( x i^i y ) C_ U. ( z i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
5	4	raleqbi1dv	|- ( z = B -> ( A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) C_ U. ( z i^i ~P ( x i^i y ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )
6		df-bases	|- TopBases = { z | A. x e. z A. y e. z ( x i^i y ) C_ U. ( z i^i ~P ( x i^i y ) ) }
7	5 6	elab2g	|- ( B e. C -> ( B e. TopBases <-> A. x e. B A. y e. B ( x i^i y ) C_ U. ( B i^i ~P ( x i^i y ) ) ) )