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Theorem iscnrm3v

Description: A topology is completely normal iff two separated sets can be separated by open neighborhoods. (Contributed by Zhi Wang, 10-Sep-2024)

		Ref	Expression
	Assertion	iscnrm3v	\|- ( J e. Top -> ( J e. CNrm <-> A. s e. ~P U. J A. t e. ~P U. J ( ( ( s i^i ( ( cls ` J ) ` t ) ) = (/) /\ ( ( ( cls ` J ) ` s ) i^i t ) = (/) ) -> E. n e. J E. m e. J ( s C_ n /\ t C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Ref

Expression

Assertion

iscnrm3v

|- ( J e. Top -> ( J e. CNrm <-> A. s e. ~P U. J A. t e. ~P U. J ( ( ( s i^i ( ( cls ` J ) ` t ) ) = (/) /\ ( ( ( cls ` J ) ` s ) i^i t ) = (/) ) -> E. n e. J E. m e. J ( s C_ n /\ t C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnrm3	\|- ( J e. CNrm <-> ( J e. Top /\ A. s e. ~P U. J A. t e. ~P U. J ( ( ( s i^i ( ( cls ` J ) ` t ) ) = (/) /\ ( ( ( cls ` J ) ` s ) i^i t ) = (/) ) -> E. n e. J E. m e. J ( s C_ n /\ t C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )
2	1	baib	\|- ( J e. Top -> ( J e. CNrm <-> A. s e. ~P U. J A. t e. ~P U. J ( ( ( s i^i ( ( cls ` J ) ` t ) ) = (/) /\ ( ( ( cls ` J ) ` s ) i^i t ) = (/) ) -> E. n e. J E. m e. J ( s C_ n /\ t C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

Step

Hyp

Ref

Expression

iscnrm3

 |-  ( J e. CNrm <-> ( J e. Top /\ A. s e. ~P U. J A. t e. ~P U. J ( ( ( s i^i ( ( cls ` J ) ` t ) ) = (/) /\ ( ( ( cls ` J ) ` s ) i^i t ) = (/) ) -> E. n e. J E. m e. J ( s C_ n /\ t C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )

baib

 |-  ( J e. Top -> ( J e. CNrm <-> A. s e. ~P U. J A. t e. ~P U. J ( ( ( s i^i ( ( cls ` J ) ` t ) ) = (/) /\ ( ( ( cls ` J ) ` s ) i^i t ) = (/) ) -> E. n e. J E. m e. J ( s C_ n /\ t C_ m /\ ( n i^i m ) = (/) ) ) ) )