Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
trnset.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
2 |
|
trnset.s |
|- S = ( PSubSp ` K ) |
3 |
|
trnset.p |
|- .+ = ( +P ` K ) |
4 |
|
trnset.o |
|- ._|_ = ( _|_P ` K ) |
5 |
|
trnset.w |
|- W = ( WAtoms ` K ) |
6 |
|
trnset.m |
|- M = ( PAut ` K ) |
7 |
|
trnset.l |
|- L = ( Dil ` K ) |
8 |
|
trnset.t |
|- T = ( Trn ` K ) |
9 |
1 2 3 4 5 6 7 8
|
trnsetN |
|- ( ( K e. B /\ D e. A ) -> ( T ` D ) = { f e. ( L ` D ) | A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) } ) |
10 |
9
|
eleq2d |
|- ( ( K e. B /\ D e. A ) -> ( F e. ( T ` D ) <-> F e. { f e. ( L ` D ) | A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) } ) ) |
11 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` q ) = ( F ` q ) ) |
12 |
11
|
oveq2d |
|- ( f = F -> ( q .+ ( f ` q ) ) = ( q .+ ( F ` q ) ) ) |
13 |
12
|
ineq1d |
|- ( f = F -> ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( q .+ ( F ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) |
14 |
|
fveq1 |
|- ( f = F -> ( f ` r ) = ( F ` r ) ) |
15 |
14
|
oveq2d |
|- ( f = F -> ( r .+ ( f ` r ) ) = ( r .+ ( F ` r ) ) ) |
16 |
15
|
ineq1d |
|- ( f = F -> ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( F ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) |
17 |
13 16
|
eqeq12d |
|- ( f = F -> ( ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) <-> ( ( q .+ ( F ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( F ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) ) |
18 |
17
|
2ralbidv |
|- ( f = F -> ( A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) <-> A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( F ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( F ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) ) |
19 |
18
|
elrab |
|- ( F e. { f e. ( L ` D ) | A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( f ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( f ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) } <-> ( F e. ( L ` D ) /\ A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( F ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( F ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) ) |
20 |
10 19
|
bitrdi |
|- ( ( K e. B /\ D e. A ) -> ( F e. ( T ` D ) <-> ( F e. ( L ` D ) /\ A. q e. ( W ` D ) A. r e. ( W ` D ) ( ( q .+ ( F ` q ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) = ( ( r .+ ( F ` r ) ) i^i ( ._|_ ` { D } ) ) ) ) ) |