Theorem iuneq12i

Description: Equality theorem for indexed union. Inference version. (Contributed by GG, 1-Sep-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	iuneq12i.1	|- A = B
	iuneq12i.2	|- C = D
Assertion	iuneq12i	|- U_ x e. A C = U_ x e. B D

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iuneq12i.1	|- A = B
2		iuneq12i.2	|- C = D
3	2	eleq2i	|- ( t e. C <-> t e. D )
4	1 3	rexeqbii	|- ( E. x e. A t e. C <-> E. x e. B t e. D )
5	4	abbii	|- { t | E. x e. A t e. C } = { t | E. x e. B t e. D }
6		df-iun	|- U_ x e. A C = { t | E. x e. A t e. C }
7		df-iun	|- U_ x e. B D = { t | E. x e. B t e. D }
8	5 6 7	3eqtr4i	|- U_ x e. A C = U_ x e. B D