Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
joinval2.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
joinval2.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
joinval2.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
joinval2.k |
|- ( ph -> K e. V ) |
5 |
|
joinval2.x |
|- ( ph -> X e. B ) |
6 |
|
joinval2.y |
|- ( ph -> Y e. B ) |
7 |
|
breq1 |
|- ( y = X -> ( y .<_ x <-> X .<_ x ) ) |
8 |
|
breq1 |
|- ( y = Y -> ( y .<_ x <-> Y .<_ x ) ) |
9 |
7 8
|
ralprg |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. y e. { X , Y } y .<_ x <-> ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) ) ) |
10 |
|
breq1 |
|- ( y = X -> ( y .<_ z <-> X .<_ z ) ) |
11 |
|
breq1 |
|- ( y = Y -> ( y .<_ z <-> Y .<_ z ) ) |
12 |
10 11
|
ralprg |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. y e. { X , Y } y .<_ z <-> ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) ) ) |
13 |
12
|
imbi1d |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) <-> ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) |
14 |
13
|
ralbidv |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) <-> A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) |
15 |
9 14
|
anbi12d |
|- ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( A. y e. { X , Y } y .<_ x /\ A. z e. B ( A. y e. { X , Y } y .<_ z -> x .<_ z ) ) <-> ( ( X .<_ x /\ Y .<_ x ) /\ A. z e. B ( ( X .<_ z /\ Y .<_ z ) -> x .<_ z ) ) ) ) |