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Theorem lubfun

Description: The LUB is a function. (Contributed by NM, 9-Sep-2018)

Ref Expression
Hypothesis lubfun.u 
|- U = ( lub ` K )
Assertion lubfun 
|- Fun U

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lubfun.u 
 |-  U = ( lub ` K )
2 funmpt 
 |-  Fun ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) ) )
3 funres 
 |-  ( Fun ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) ) ) -> Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) } ) )
4 2 3 ax-mp 
 |-  Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) } )
5 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
6 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
7 biid 
 |-  ( ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) <-> ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) )
8 id 
 |-  ( K e. _V -> K e. _V )
9 5 6 1 7 8 lubfval 
 |-  ( K e. _V -> U = ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) } ) )
10 9 funeqd 
 |-  ( K e. _V -> ( Fun U <-> Fun ( ( s e. ~P ( Base ` K ) |-> ( iota_ x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) ) ) |` { s | E! x e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) x /\ A. z e. ( Base ` K ) ( A. y e. s y ( le ` K ) z -> x ( le ` K ) z ) ) } ) ) )
11 4 10 mpbiri 
 |-  ( K e. _V -> Fun U )
12 fun0 
 |-  Fun (/)
13 fvprc 
 |-  ( -. K e. _V -> ( lub ` K ) = (/) )
14 1 13 eqtrid 
 |-  ( -. K e. _V -> U = (/) )
15 14 funeqd 
 |-  ( -. K e. _V -> ( Fun U <-> Fun (/) ) )
16 12 15 mpbiri 
 |-  ( -. K e. _V -> Fun U )
17 11 16 pm2.61i 
 |-  Fun U