Theorem mgmcl

Description: Closure of the operation of a magma. (Contributed by FL, 14-Sep-2010) (Revised by AV, 13-Jan-2020)

	Ref	Expression
Hypotheses	mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
	mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )
Assertion	mgmcl	|- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgmcl.b	|- B = ( Base ` M )
2		mgmcl.o	|- .o. = ( +g ` M )
3	1 2	ismgm	|- ( M e. Mgm -> ( M e. Mgm <-> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) )
4	3	ibi	|- ( M e. Mgm -> A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B )
5		ovrspc2v	|- ( ( ( X e. B /\ Y e. B ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )
6	5	expcom	|- ( A. x e. B A. y e. B ( x .o. y ) e. B -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
7	4 6	syl	|- ( M e. Mgm -> ( ( X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B ) )
8	7	3impib	|- ( ( M e. Mgm /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .o. Y ) e. B )