Theorem naryfvalel

Description: An n-ary (endo)function on a set X . (Contributed by AV, 14-May-2024)

	Ref	Expression
Hypothesis	naryfval.i	|- I = ( 0 ..^ N )
Assertion	naryfvalel	|- ( ( N e. NN0 /\ X e. V ) -> ( F e. ( N -aryF X ) <-> F : ( X ^m I ) --> X ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		naryfval.i	|- I = ( 0 ..^ N )
2	1	naryfval	|- ( N e. NN0 -> ( N -aryF X ) = ( X ^m ( X ^m I ) ) )
3	2	eleq2d	|- ( N e. NN0 -> ( F e. ( N -aryF X ) <-> F e. ( X ^m ( X ^m I ) ) ) )
4		ovex	|- ( X ^m I ) e. _V
5		elmapg	|- ( ( X e. V /\ ( X ^m I ) e. _V ) -> ( F e. ( X ^m ( X ^m I ) ) <-> F : ( X ^m I ) --> X ) )
6	4 5	mpan2	|- ( X e. V -> ( F e. ( X ^m ( X ^m I ) ) <-> F : ( X ^m I ) --> X ) )
7	3 6	sylan9bb	|- ( ( N e. NN0 /\ X e. V ) -> ( F e. ( N -aryF X ) <-> F : ( X ^m I ) --> X ) )