Theorem oiiniseg

Description: ran F is an initial segment of A under the well-order R . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2015)

	Ref	Expression
Hypothesis	oicl.1	|- F = OrdIso ( R , A )
Assertion	oiiniseg	|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( N e. A /\ M e. dom F ) ) -> ( ( F ` M ) R N \/ N e. ran F ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	|- F = OrdIso ( R , A )
2		eqid	|- recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
3		eqid	|- { w e. A | A. j e. ran h j R w } = { w e. A | A. j e. ran h j R w }
4		eqid	|- ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) = ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) )
5	2 3 4	ordtypecbv	|- recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) = recs ( ( h e. _V |-> ( iota_ v e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } A. u e. { w e. A | A. j e. ran h j R w } -. u R v ) ) )
6		eqid	|- { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t } = { x e. On | E. t e. A A. z e. ( recs ( ( f e. _V |-> ( iota_ s e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } A. r e. { y e. A | A. i e. ran f i R y } -. r R s ) ) ) " x ) z R t }
7		simpl	|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> R We A )
8		simpr	|- ( ( R We A /\ R Se A ) -> R Se A )
9	5 3 4 6 1 7 8	ordtypelem7	|- ( ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ N e. A ) /\ M e. dom F ) -> ( ( F ` M ) R N \/ N e. ran F ) )
10	9	anasss	|- ( ( ( R We A /\ R Se A ) /\ ( N e. A /\ M e. dom F ) ) -> ( ( F ` M ) R N \/ N e. ran F ) )