Theorem oplecon3

Description: Contraposition law for orthoposets. (Contributed by NM, 13-Sep-2011)

	Ref	Expression
Hypotheses	opcon3.b	|- B = ( Base ` K )
	opcon3.l	|- .<_ = ( le ` K )
	opcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
Assertion	oplecon3	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opcon3.b	|- B = ( Base ` K )
2		opcon3.l	|- .<_ = ( le ` K )
3		opcon3.o	|- ._|_ = ( oc ` K )
4		eqid	|- ( join ` K ) = ( join ` K )
5		eqid	|- ( meet ` K ) = ( meet ` K )
6		eqid	|- ( 0. ` K ) = ( 0. ` K )
7		eqid	|- ( 1. ` K ) = ( 1. ` K )
8	1 2 3 4 5 6 7	oposlem	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X .<_ Y -> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) ) /\ ( X ( join ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 1. ` K ) /\ ( X ( meet ` K ) ( ._|_ ` X ) ) = ( 0. ` K ) ) )
9	8	simp1d	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( ._|_ ` X ) e. B /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` X ) ) = X /\ ( X .<_ Y -> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) ) )
10	9	simp3d	|- ( ( K e. OP /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .<_ Y -> ( ._|_ ` Y ) .<_ ( ._|_ ` X ) ) )