Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opprval.1 |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
opprval.2 |
|- .x. = ( .r ` R ) |
3 |
|
opprval.3 |
|- O = ( oppR ` R ) |
4 |
|
opprmulfval.4 |
|- .xb = ( .r ` O ) |
5 |
1 2 3
|
opprval |
|- O = ( R sSet <. ( .r ` ndx ) , tpos .x. >. ) |
6 |
5
|
fveq2i |
|- ( .r ` O ) = ( .r ` ( R sSet <. ( .r ` ndx ) , tpos .x. >. ) ) |
7 |
2
|
fvexi |
|- .x. e. _V |
8 |
7
|
tposex |
|- tpos .x. e. _V |
9 |
|
mulrid |
|- .r = Slot ( .r ` ndx ) |
10 |
9
|
setsid |
|- ( ( R e. _V /\ tpos .x. e. _V ) -> tpos .x. = ( .r ` ( R sSet <. ( .r ` ndx ) , tpos .x. >. ) ) ) |
11 |
8 10
|
mpan2 |
|- ( R e. _V -> tpos .x. = ( .r ` ( R sSet <. ( .r ` ndx ) , tpos .x. >. ) ) ) |
12 |
6 11
|
eqtr4id |
|- ( R e. _V -> ( .r ` O ) = tpos .x. ) |
13 |
|
tpos0 |
|- tpos (/) = (/) |
14 |
9
|
str0 |
|- (/) = ( .r ` (/) ) |
15 |
13 14
|
eqtr2i |
|- ( .r ` (/) ) = tpos (/) |
16 |
|
fvprc |
|- ( -. R e. _V -> ( oppR ` R ) = (/) ) |
17 |
3 16
|
eqtrid |
|- ( -. R e. _V -> O = (/) ) |
18 |
17
|
fveq2d |
|- ( -. R e. _V -> ( .r ` O ) = ( .r ` (/) ) ) |
19 |
|
fvprc |
|- ( -. R e. _V -> ( .r ` R ) = (/) ) |
20 |
2 19
|
eqtrid |
|- ( -. R e. _V -> .x. = (/) ) |
21 |
20
|
tposeqd |
|- ( -. R e. _V -> tpos .x. = tpos (/) ) |
22 |
15 18 21
|
3eqtr4a |
|- ( -. R e. _V -> ( .r ` O ) = tpos .x. ) |
23 |
12 22
|
pm2.61i |
|- ( .r ` O ) = tpos .x. |
24 |
4 23
|
eqtri |
|- .xb = tpos .x. |