Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
breq |
|- ( R = S -> ( x R x <-> x S x ) ) |
2 |
1
|
notbid |
|- ( R = S -> ( -. x R x <-> -. x S x ) ) |
3 |
|
breq |
|- ( R = S -> ( x R y <-> x S y ) ) |
4 |
|
breq |
|- ( R = S -> ( y R z <-> y S z ) ) |
5 |
3 4
|
anbi12d |
|- ( R = S -> ( ( x R y /\ y R z ) <-> ( x S y /\ y S z ) ) ) |
6 |
|
breq |
|- ( R = S -> ( x R z <-> x S z ) ) |
7 |
5 6
|
imbi12d |
|- ( R = S -> ( ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) <-> ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) ) ) |
8 |
2 7
|
anbi12d |
|- ( R = S -> ( ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> ( -. x S x /\ ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) ) ) ) |
9 |
8
|
ralbidv |
|- ( R = S -> ( A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. z e. A ( -. x S x /\ ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) ) ) ) |
10 |
9
|
2ralbidv |
|- ( R = S -> ( A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x S x /\ ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) ) ) ) |
11 |
|
df-po |
|- ( R Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x R x /\ ( ( x R y /\ y R z ) -> x R z ) ) ) |
12 |
|
df-po |
|- ( S Po A <-> A. x e. A A. y e. A A. z e. A ( -. x S x /\ ( ( x S y /\ y S z ) -> x S z ) ) ) |
13 |
10 11 12
|
3bitr4g |
|- ( R = S -> ( R Po A <-> S Po A ) ) |