Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elfvex |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> X e. _V ) |
2 |
|
ispsmet |
|- ( X e. _V -> ( D e. ( PsMet ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) ) |
3 |
2
|
biimpa |
|- ( ( X e. _V /\ D e. ( PsMet ` X ) ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) |
4 |
1 3
|
mpancom |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X ( ( x D x ) = 0 /\ A. y e. X A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) |
5 |
4
|
simpld |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> D : ( X X. X ) --> RR* ) |
6 |
|
fdm |
|- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom D = ( X X. X ) ) |
7 |
6
|
dmeqd |
|- ( D : ( X X. X ) --> RR* -> dom dom D = dom ( X X. X ) ) |
8 |
5 7
|
syl |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> dom dom D = dom ( X X. X ) ) |
9 |
|
dmxpid |
|- dom ( X X. X ) = X |
10 |
8 9
|
eqtr2di |
|- ( D e. ( PsMet ` X ) -> X = dom dom D ) |