Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pwslmod.y |
|- Y = ( R ^s I ) |
2 |
|
eqid |
|- ( Scalar ` R ) = ( Scalar ` R ) |
3 |
1 2
|
pwsval |
|- ( ( R e. LMod /\ I e. V ) -> Y = ( ( Scalar ` R ) Xs_ ( I X. { R } ) ) ) |
4 |
|
eqid |
|- ( ( Scalar ` R ) Xs_ ( I X. { R } ) ) = ( ( Scalar ` R ) Xs_ ( I X. { R } ) ) |
5 |
2
|
lmodring |
|- ( R e. LMod -> ( Scalar ` R ) e. Ring ) |
6 |
5
|
adantr |
|- ( ( R e. LMod /\ I e. V ) -> ( Scalar ` R ) e. Ring ) |
7 |
|
simpr |
|- ( ( R e. LMod /\ I e. V ) -> I e. V ) |
8 |
|
fconst6g |
|- ( R e. LMod -> ( I X. { R } ) : I --> LMod ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( R e. LMod /\ I e. V ) -> ( I X. { R } ) : I --> LMod ) |
10 |
|
fvconst2g |
|- ( ( R e. LMod /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R ) |
11 |
10
|
adantlr |
|- ( ( ( R e. LMod /\ I e. V ) /\ x e. I ) -> ( ( I X. { R } ) ` x ) = R ) |
12 |
11
|
fveq2d |
|- ( ( ( R e. LMod /\ I e. V ) /\ x e. I ) -> ( Scalar ` ( ( I X. { R } ) ` x ) ) = ( Scalar ` R ) ) |
13 |
4 6 7 9 12
|
prdslmodd |
|- ( ( R e. LMod /\ I e. V ) -> ( ( Scalar ` R ) Xs_ ( I X. { R } ) ) e. LMod ) |
14 |
3 13
|
eqeltrd |
|- ( ( R e. LMod /\ I e. V ) -> Y e. LMod ) |