Theorem r19.30

Description: Restricted quantifier version of 19.30 . (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011) (Proof shortened by Wolf Lammen, 18-Jun-2023)

	Ref	Expression
Assertion	r19.30	|- ( A. x e. A ( ph \/ ps ) -> ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm2.53	|- ( ( ps \/ ph ) -> ( -. ps -> ph ) )
2	1	orcoms	|- ( ( ph \/ ps ) -> ( -. ps -> ph ) )
3	2	ralimi	|- ( A. x e. A ( ph \/ ps ) -> A. x e. A ( -. ps -> ph ) )
4		ralim	|- ( A. x e. A ( -. ps -> ph ) -> ( A. x e. A -. ps -> A. x e. A ph ) )
5		ralnex	|- ( A. x e. A -. ps <-> -. E. x e. A ps )
6	5	biimpri	|- ( -. E. x e. A ps -> A. x e. A -. ps )
7	6	imim1i	|- ( ( A. x e. A -. ps -> A. x e. A ph ) -> ( -. E. x e. A ps -> A. x e. A ph ) )
8	7	orrd	|- ( ( A. x e. A -. ps -> A. x e. A ph ) -> ( E. x e. A ps \/ A. x e. A ph ) )
9	8	orcomd	|- ( ( A. x e. A -. ps -> A. x e. A ph ) -> ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) )
10	3 4 9	3syl	|- ( A. x e. A ( ph \/ ps ) -> ( A. x e. A ph \/ E. x e. A ps ) )