Theorem relpeq2

Description: Equality theorem for relation-preserving functions. (Contributed by Eric Schmidt, 11-Oct-2025)

	Ref	Expression
Assertion	relpeq2	|- ( R = T -> ( H RelPres R , S ( A , B ) <-> H RelPres T , S ( A , B ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq	|- ( R = T -> ( x R y <-> x T y ) )
2	1	imbi1d	|- ( R = T -> ( ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> ( x T y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
3	2	2ralbidv	|- ( R = T -> ( A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x T y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
4	3	anbi2d	|- ( R = T -> ( ( H : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) <-> ( H : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x T y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) ) )
5		df-relp	|- ( H RelPres R , S ( A , B ) <-> ( H : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x R y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
6		df-relp	|- ( H RelPres T , S ( A , B ) <-> ( H : A --> B /\ A. x e. A A. y e. A ( x T y -> ( H ` x ) S ( H ` y ) ) ) )
7	4 5 6	3bitr4g	|- ( R = T -> ( H RelPres R , S ( A , B ) <-> H RelPres T , S ( A , B ) ) )