Description: An indexed set of absolute values of real numbers is bounded if and only if the original values are bounded above and below. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021)
Ref | Expression | ||
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Hypotheses | rexabsle2.1 | |- F/ x ph |
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rexabsle2.2 | |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR ) |
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Assertion | rexabsle2 | |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y <-> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y /\ E. y e. RR A. x e. A y <_ B ) ) ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | rexabsle2.1 | |- F/ x ph |
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2 | rexabsle2.2 | |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR ) |
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3 | 1 2 | rexabsle | |- ( ph -> ( E. y e. RR A. x e. A ( abs ` B ) <_ y <-> ( E. y e. RR A. x e. A B <_ y /\ E. y e. RR A. x e. A y <_ B ) ) ) |