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## Theorem rspsbc2

Description: rspsbc with two quantifying variables. This proof is rspsbc2VD automatically translated and minimized. (Contributed by Alan Sare, 31-Dec-2011) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion rspsbc2
`|- ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )`

### Proof

Step Hyp Ref Expression
1 idd
` |-  ( A e. B -> ( C e. D -> C e. D ) )`
2 rspsbc
` |-  ( A e. B -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. A / x ]. A. y e. D ph ) )`
3 2 a1d
` |-  ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. A / x ]. A. y e. D ph ) ) )`
4 sbcralg
` |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y e. D ph <-> A. y e. D [. A / x ]. ph ) )`
5 4 biimpd
` |-  ( A e. B -> ( [. A / x ]. A. y e. D ph -> A. y e. D [. A / x ]. ph ) )`
6 3 5 syl6d
` |-  ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> A. y e. D [. A / x ]. ph ) ) )`
7 rspsbc
` |-  ( C e. D -> ( A. y e. D [. A / x ]. ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) )`
8 1 6 7 syl10
` |-  ( A e. B -> ( C e. D -> ( A. x e. B A. y e. D ph -> [. C / y ]. [. A / x ]. ph ) ) )`