Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
peano1 |
|- (/) e. _om |
2 |
|
elelsuc |
|- ( (/) e. _om -> (/) e. suc _om ) |
3 |
|
satf0sucom |
|- ( (/) e. suc _om -> ( ( (/) Sat (/) ) ` (/) ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. u e. f ( E. v e. f x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) \/ E. i e. _om x = A.g i ( 1st ` u ) ) ) } ) ) , { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) } ) ` (/) ) ) |
4 |
1 2 3
|
mp2b |
|- ( ( (/) Sat (/) ) ` (/) ) = ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. u e. f ( E. v e. f x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) \/ E. i e. _om x = A.g i ( 1st ` u ) ) ) } ) ) , { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) } ) ` (/) ) |
5 |
|
omex |
|- _om e. _V |
6 |
5 5
|
xpex |
|- ( _om X. _om ) e. _V |
7 |
|
xpexg |
|- ( ( _om e. _V /\ ( _om X. _om ) e. _V ) -> ( _om X. ( _om X. _om ) ) e. _V ) |
8 |
|
simpl |
|- ( ( _om e. _V /\ ( _om X. _om ) e. _V ) -> _om e. _V ) |
9 |
|
goelel3xp |
|- ( ( i e. _om /\ j e. _om ) -> ( i e.g j ) e. ( _om X. ( _om X. _om ) ) ) |
10 |
|
eleq1 |
|- ( x = ( i e.g j ) -> ( x e. ( _om X. ( _om X. _om ) ) <-> ( i e.g j ) e. ( _om X. ( _om X. _om ) ) ) ) |
11 |
9 10
|
syl5ibrcom |
|- ( ( i e. _om /\ j e. _om ) -> ( x = ( i e.g j ) -> x e. ( _om X. ( _om X. _om ) ) ) ) |
12 |
11
|
rexlimivv |
|- ( E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) -> x e. ( _om X. ( _om X. _om ) ) ) |
13 |
12
|
ad2antll |
|- ( ( ( _om e. _V /\ ( _om X. _om ) e. _V ) /\ ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) ) -> x e. ( _om X. ( _om X. _om ) ) ) |
14 |
|
eleq1 |
|- ( y = (/) -> ( y e. _om <-> (/) e. _om ) ) |
15 |
1 14
|
mpbiri |
|- ( y = (/) -> y e. _om ) |
16 |
15
|
ad2antrl |
|- ( ( ( _om e. _V /\ ( _om X. _om ) e. _V ) /\ ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) ) -> y e. _om ) |
17 |
7 8 13 16
|
opabex2 |
|- ( ( _om e. _V /\ ( _om X. _om ) e. _V ) -> { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) } e. _V ) |
18 |
5 6 17
|
mp2an |
|- { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) } e. _V |
19 |
18
|
rdg0 |
|- ( rec ( ( f e. _V |-> ( f u. { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. u e. f ( E. v e. f x = ( ( 1st ` u ) |g ( 1st ` v ) ) \/ E. i e. _om x = A.g i ( 1st ` u ) ) ) } ) ) , { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) } ) ` (/) ) = { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) } |
20 |
4 19
|
eqtri |
|- ( ( (/) Sat (/) ) ` (/) ) = { <. x , y >. | ( y = (/) /\ E. i e. _om E. j e. _om x = ( i e.g j ) ) } |