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Theorem sqrtle

Description: Square root is monotonic. (Contributed by NM, 17-Mar-2005) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-May-2016)

Ref Expression
Assertion sqrtle 
|- ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( sqrt ` A ) <_ ( sqrt ` B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 resqrtcl 
 |-  ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( sqrt ` A ) e. RR )
2 sqrtge0 
 |-  ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( sqrt ` A ) )
3 1 2 jca 
 |-  ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqrt ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqrt ` A ) ) )
4 resqrtcl 
 |-  ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( sqrt ` B ) e. RR )
5 sqrtge0 
 |-  ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> 0 <_ ( sqrt ` B ) )
6 4 5 jca 
 |-  ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqrt ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqrt ` B ) ) )
7 le2sq 
 |-  ( ( ( ( sqrt ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( sqrt ` A ) ) /\ ( ( sqrt ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( sqrt ` B ) ) ) -> ( ( sqrt ` A ) <_ ( sqrt ` B ) <-> ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqrt ` B ) ^ 2 ) ) )
8 3 6 7 syl2an 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( sqrt ` A ) <_ ( sqrt ` B ) <-> ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqrt ` B ) ^ 2 ) ) )
9 resqrtth 
 |-  ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) -> ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) = A )
10 resqrtth 
 |-  ( ( B e. RR /\ 0 <_ B ) -> ( ( sqrt ` B ) ^ 2 ) = B )
11 9 10 breqan12d 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( ( ( sqrt ` A ) ^ 2 ) <_ ( ( sqrt ` B ) ^ 2 ) <-> A <_ B ) )
12 8 11 bitr2d 
 |-  ( ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ ( B e. RR /\ 0 <_ B ) ) -> ( A <_ B <-> ( sqrt ` A ) <_ ( sqrt ` B ) ) )