Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
halfaddsubcl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) ) |
2 |
|
sincl |
|- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC ) |
3 |
|
sincl |
|- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) |
4 |
|
mulcl |
|- ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC ) |
5 |
2 3 4
|
syl2an |
|- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC ) |
6 |
1 5
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC ) |
7 |
6
|
2timesd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( 2 x. ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) |
8 |
|
cossub |
|- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) |
9 |
|
cosadd |
|- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) |
10 |
8 9
|
oveq12d |
|- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) - ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
11 |
1 10
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) - ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) ) |
12 |
|
coscl |
|- ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC ) |
13 |
|
coscl |
|- ( ( ( A - B ) / 2 ) e. CC -> ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) |
14 |
|
mulcl |
|- ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) e. CC /\ ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC ) |
15 |
12 13 14
|
syl2an |
|- ( ( ( ( A + B ) / 2 ) e. CC /\ ( ( A - B ) / 2 ) e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC ) |
16 |
1 15
|
syl |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) e. CC ) |
17 |
16 6 6
|
pnncand |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) - ( ( ( cos ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( cos ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) |
18 |
11 17
|
eqtrd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) + ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) |
19 |
|
halfaddsub |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A /\ ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B ) ) |
20 |
19
|
simprd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) = B ) |
21 |
20
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( cos ` B ) ) |
22 |
19
|
simpld |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) = A ) |
23 |
22
|
fveq2d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) = ( cos ` A ) ) |
24 |
21 23
|
oveq12d |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) - ( ( A - B ) / 2 ) ) ) - ( cos ` ( ( ( A + B ) / 2 ) + ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) = ( ( cos ` B ) - ( cos ` A ) ) ) |
25 |
7 18 24
|
3eqtr2rd |
|- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( ( cos ` B ) - ( cos ` A ) ) = ( 2 x. ( ( sin ` ( ( A + B ) / 2 ) ) x. ( sin ` ( ( A - B ) / 2 ) ) ) ) ) |