Theorem tncp

Description: In any planar incidence geometry, there exist three non-collinear points. (Contributed by FL, 3-Aug-2009)

	Ref	Expression
Hypothesis	tncp.1	|- P = U. G
Assertion	tncp	|- ( G e. Plig -> E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tncp.1	|- P = U. G
2	1	isplig	|- ( G e. Plig -> ( G e. Plig <-> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) ) )
3	2	ibi	|- ( G e. Plig -> ( A. a e. P A. b e. P ( a =/= b -> E! l e. G ( a e. l /\ b e. l ) ) /\ A. l e. G E. a e. P E. b e. P ( a =/= b /\ a e. l /\ b e. l ) /\ E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) ) )
4	3	simp3d	|- ( G e. Plig -> E. a e. P E. b e. P E. c e. P A. l e. G -. ( a e. l /\ b e. l /\ c e. l ) )