Theorem usgrexmpl2nblem

Description: Lemma for usgrexmpl2nb0 etc. (Contributed by AV, 9-Aug-2025)

	Ref	Expression
Hypotheses	usgrexmpl2.v	|- V = ( 0 ... 5 )
	usgrexmpl2.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 3 , 4 } { 4 , 5 } { 0 , 3 } { 0 , 5 } ">
	usgrexmpl2.g	|- G = <. V , E >.
Assertion	usgrexmpl2nblem	|- ( K e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 , 5 } ) -> ( G NeighbVtx K ) = { n e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 , 5 } ) | { K , n } e. ( { { 0 , 3 } } u. ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } u. { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgrexmpl2.v	|- V = ( 0 ... 5 )
2		usgrexmpl2.e	|- E = <" { 0 , 1 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 3 , 4 } { 4 , 5 } { 0 , 3 } { 0 , 5 } ">
3		usgrexmpl2.g	|- G = <. V , E >.
4	1 2 3	usgrexmpl2	|- G e. USGraph
5	1 2 3	usgrexmpl2vtx	|- ( Vtx ` G ) = ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 , 5 } )
6	5	eqcomi	|- ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 , 5 } ) = ( Vtx ` G )
7	1 2 3	usgrexmpl2edg	|- ( Edg ` G ) = ( { { 0 , 3 } } u. ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } u. { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) )
8	7	eqcomi	|- ( { { 0 , 3 } } u. ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } u. { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) = ( Edg ` G )
9	6 8	nbusgrvtx	|- ( ( G e. USGraph /\ K e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 , 5 } ) ) -> ( G NeighbVtx K ) = { n e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 , 5 } ) | { K , n } e. ( { { 0 , 3 } } u. ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } u. { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) } )
10	4 9	mpan	|- ( K e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 , 5 } ) -> ( G NeighbVtx K ) = { n e. ( { 0 , 1 , 2 } u. { 3 , 4 , 5 } ) | { K , n } e. ( { { 0 , 3 } } u. ( { { 0 , 1 } , { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } u. { { 3 , 4 } , { 4 , 5 } , { 0 , 5 } } ) ) } )