Theorem wfaxreg

Description: The class of well-founded sets models the Axiom of Regularity ax-reg . Part of Corollary II.2.5 of Kunen2 p. 112. (Contributed by Eric Schmidt, 19-Oct-2025)

	Ref	Expression
Hypothesis	wfax.1	|- W = U. ( R1 " On )
Assertion	wfaxreg	|- A. x e. W ( E. y e. W y e. x -> E. y e. W ( y e. x /\ A. z e. W ( z e. y -> -. z e. x ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wfax.1	|- W = U. ( R1 " On )
2	1	eqimssi	|- W C_ U. ( R1 " On )
3		sswfaxreg	|- ( W C_ U. ( R1 " On ) -> A. x e. W ( E. y e. W y e. x -> E. y e. W ( y e. x /\ A. z e. W ( z e. y -> -. z e. x ) ) ) )
4	2 3	ax-mp	|- A. x e. W ( E. y e. W y e. x -> E. y e. W ( y e. x /\ A. z e. W ( z e. y -> -. z e. x ) ) )