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Theorem 2eu1

Description: Double existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one. Usage of this theorem is discouraged because it depends on ax-13 . Use the weaker 2eu1v when possible. (Contributed by NM, 3-Dec-2001) (Proof shortened by Wolf Lammen, 23-Apr-2023) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Assertion 2eu1 x * y φ ∃! x ∃! y φ ∃! x y φ ∃! y x φ

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 2eu2ex ∃! x ∃! y φ x y φ
2 moeu * y φ y φ ∃! y φ
3 2 albii x * y φ x y φ ∃! y φ
4 euim x y φ x y φ ∃! y φ ∃! x ∃! y φ ∃! x y φ
5 3 4 sylan2b x y φ x * y φ ∃! x ∃! y φ ∃! x y φ
6 5 ex x y φ x * y φ ∃! x ∃! y φ ∃! x y φ
7 1 6 syl ∃! x ∃! y φ x * y φ ∃! x ∃! y φ ∃! x y φ
8 7 pm2.43b x * y φ ∃! x ∃! y φ ∃! x y φ
9 2euswap x * y φ ∃! x y φ ∃! y x φ
10 8 9 syld x * y φ ∃! x ∃! y φ ∃! y x φ
11 8 10 jcad x * y φ ∃! x ∃! y φ ∃! x y φ ∃! y x φ
12 2exeu ∃! x y φ ∃! y x φ ∃! x ∃! y φ
13 11 12 impbid1 x * y φ ∃! x ∃! y φ ∃! x y φ ∃! y x φ